تانسورها در سراسر ریاضیات و علوم برای آشکار کردن حقایق هندسی پنهان استفاده میشوند. اما تانسور چیست؟
پس از آنکه آلبرت اینشتین در سال ۱۹۰۵ نظریه نسبیت خاص خود را منتشر کرد، یک دهه بعد را صرف تلاش برای ارائه نظریهای درباره گرانش کرد. اما برای سالها، مدام با یک مشکل مواجه میشد.
او میخواست نشان دهد که گرانش در واقع انحنایی در هندسه فضا-زمان است که بر اثر وجود ماده ایجاد میشود. اما او همچنین میدانست که زمان و فاصله بهگونهای غیرمتعارف نسبی هستند: آنها بسته به چارچوب مرجع شما تغییر میکنند. حرکت سریع باعث میشود فواصل کوتاهتر و زمان آهستهتر شود. پس در این صورت، چگونه میتوانید گرانش را بهطور عینی توصیف کنید، صرفنظر از اینکه ساکن هستید یا در حرکت؟
اینشتین راهحل را در نظریه هندسی جدیدی یافت که چند سال پیشتر توسط ریاضیدانان ایتالیایی، گرگوریو ریچی-کورباسترو و تولیو لیوی-چیویتا منتشر شده بود. در این نظریه، پایههای ریاضی چیزی نهفته بود که بعدها «تانسور» نام گرفت.
از آن زمان، تانسورها نه تنها در نظریه نسبیت عام اینشتین، بلکه در یادگیری ماشینی، مکانیک کوانتومی و حتی زیستشناسی نقش اساسی پیدا کردهاند. دیونیسیوس آنینوس، فیزیکدان نظری کالج کینگ لندن، میگوید: «تانسورها کارآمدترین ابزار بستهبندی هستند که برای سازماندهی معادلاتمان داریم. آنها زبان طبیعی برای اشیاء هندسی هستند.»
اما تانسور چیست؟ تعریف آنها دشوار است. اگر با دانشمند رایانه صحبت کنید، ممکن است به شما بگویند که تانسور آرایهای از اعداد است که دادههای مهم را ذخیره میکند. یک عدد واحد، تانسور «رتبه ۰» است. یک فهرست از اعداد، که بردار نامیده میشود، تانسور رتبه ۱ است. شبکهای از اعداد، یا ماتریس، تانسور رتبه ۲ است و به همین ترتیب.
اما اگر با فیزیکدان یا ریاضیدان صحبت کنید، این تعریف را ناکافی خواهند یافت. از نظر آنها، هرچند تانسورها میتوانند با چنین آرایههایی از اعداد نمایش داده شوند، اما معنای هندسی عمیقتری دارند.
برای درک مفهوم هندسی تانسور، از بردارها شروع کنید. میتوانید بردار را بهصورت پیکانی شناور در فضا تصور کنید که طول و جهت دارد. این پیکان نیازی نیست به نقطه خاصی در فضا متصل باشد: اگر آن را در فضا جابجا کنید، همان بردار باقی میماند. برای مثال، بردار ممکن است سرعت ذره را نشان دهد، که طول آن نشاندهنده سرعت و جهت آن نشاندهنده سمت حرکت است.
این اطلاعات در فهرستی از اعداد بستهبندی میشود. برای مثال، بردار در فضای دوبعدی با یک جفت عدد تعریف میشود. عدد اول به شما میگوید پیکان چند واحد به راست یا چپ کشیده شده، و عدد دوم میگوید چقدر به بالا یا پایین کشیده شده است.
اما این اعداد بستگی به این دارند که چگونه سیستم مختصات خود را تعریف کردهاید. فرض کنید سیستم مختصات خود را تغییر دهید:
حالا بردار را بر اساس میزان کشیدگی در هر جهت از سیستم مختصات جدید بیان میکنید. این به شما یک جفت عدد متفاوت میدهد. اما خود بردار تغییر نکرده است: طول و جهت آن صرفنظر از اینکه در کدام سیستم مختصات هستید، ثابت میماند. علاوه بر این، اگر بدانید چگونه از یک سیستم مختصات به سیستم دیگر بروید، به طور خودکار نیز خواهید دانست که فهرست اعداد شما چگونه باید تغییر کند.
تانسورها این ایدهها را تعمیم میدهند. بردار، تانسور رتبه ۱ است؛ تانسورهای با رتبه بالاتر حاوی اطلاعات هندسی پیچیدهتری هستند.
برای مثال، تصور کنید بلوکی فولادی دارید و میخواهید تمام نیروهایی را که میتوان بر آن وارد کرد توصیف کنید. یک تانسور رتبه ۲، که به صورت ماتریس نوشته میشود، میتواند این کار را انجام دهد. هر یک از وجوه بلوک در سه جهت مختلف نیرو را احساس میکند. (برای مثال، وجه سمت راستی بلوک میتواند نیروهایی در جهت بالا-پایین، چپ-راست و جلو-عقب را تجربه کند).
بنابراین تانسوری که همه این نیروها را در بر میگیرد، میتواند با یک ماتریس ۹تایی از اعداد نمایش داده شود، یک عدد برای هر جهت برای هر یک از سه وجه (در این مثال، وجوه مقابل، زائد در نظر گرفته میشوند).
از نظر ریاضیدانها تانسور چیست؟ ریاضیدانان اغلب تانسورها را بهعنوان توابعی در نظر میگیرند که یک یا چند بردار را به عنوان ورودی میگیرند و یک بردار دیگر، یا یک عدد، را به عنوان خروجی تولید میکنند. این خروجی به انتخاب سیستم مختصات بستگی ندارد. (این محدودیت همان چیزی است که تانسورها را به طور کلی از توابع متمایز میکند.) برای مثال، یک تانسور ممکن است دو بردار را که لبههای یک مستطیل را تشکیل میدهند، بگیرد و مساحت مستطیل را به عنوان خروجی بدهد. اگر مستطیل را بچرخانید، طول آن در امتداد محور x و ارتفاع آن در امتداد محور y تغییر خواهد کرد. اما مساحت آن تغییر نمیکند.
در نظریه نسبیت اینشتین، فاصله و زمان – که زمانی مطلق تصور میشد – معلوم شد که برای ناظران مختلف تغییر میکنند. اما همانطور که طول و ارتفاع را میتوان برای محاسبه مساحت ترکیب کرد، فاصله و زمان را نیز میتوان برای تعریف خصوصیات ثابت یا ناورداهای دیگر ترکیب کرد. تانسورها به اینشتین امکان دادند تا این ناورداها را به طور کارآمد دستکاری کند و رابطه بین جرم و فضا-زمان را توصیف نماید. او توانست معادلهای واحد بنویسد که توصیف میکند ماده چگونه فضا-زمان را خمیده میکند، و در غیر این صورت باید ۱۶ معادله جداگانه و درهمتنیده نوشته میشد.
از زمان انتشار این معادله در سال ۱۹۱۵، تانسورها همهگیر شدهاند. فیزیکدانان از آنها برای توصیف حرکت الکترونها به دور هسته اتم، یا برای توصیف حالت سیستمهای کوانتومی درهمتنیده استفاده میکنند. دانشمندان رایانه از آنها برای ذخیره پارامترهای مدلهای یادگیری ماشینی استفاده میکنند. زیستشناسان از آنها برای ردیابی صفات در طول یک تبار استفاده میکنند. و ریاضیدانان آنها را در هم ضرب میکنند تا تانسورهای حتی پیچیدهتری بسازند، و سپس فضاهای جدیدی را که این تانسورها در آنها وجود دارند مطالعه میکنند. تانسورها میتوانند به ریاضیدانان کمک کنند تا تقارنهای پیچیده را کاوش کنند، ویژگیهای شکلهای خاصی به نام «منیفولد»ها را تحلیل کنند و روابط بین توابع مختلف را بررسی کنند، و همینطور چیزهای دیگر.
اینشتین زمانی از دوستی التماس کرد تا به او کمک کند بفهمد تانسور چیست، از این میترسید که دیوانه شود. اما او بالاخره آنها را فهمید – و از آن زمان تاکنون کلید توانایی دانشمندان برای توصیف جهان ما بودهاند.
